如何证明莫比乌斯反演？

如何证明莫比乌斯反演？

首先定义几个概念：

1，卷积：设是两个数论函数（也就是说，以自然数集为定义域的复数值函数），则卷积运算定义为可以证明，卷积运算满足：1）交换律：由定义显然。

2）结合律：考察两边作用在上，左边是右边是故两边相等。

3）存在单位元使得我们需要故不难猜到应该定义为事实上，直接验证可得

以上说明数论函数在卷积意义下构成一个交换群。

2，乘法单位元上面的是数论函数在卷积意义下的单位元，而普通乘法意义下的单位元显然是把所有自然数都映到1的函数，记作。

3，莫比乌斯函数在卷积意义下的逆元，称为莫比乌斯函数。也就是说是满足的唯一的数论函数。把这个表达式写开就是…………(*)

通常，莫比乌斯函数定义为；，如果能写成个不同素数之积；，其他情况。

按照这种定义不难证明(*)式。对于，(*)式成立；对于，用算术基本定理把写成于是

现在来看看莫比乌斯反演说的是什么呢？当且仅当换而言之，

证明：

反之