Simone庞加莱回归定理与玻尔兹曼H定理的矛盾如何解释？
的有关信息介绍如下：
事实上，使玻尔兹曼的H定理遭到诘难的不仅有庞加莱回归定理，还有洛喜密脱佯谬。这里将解释三者的含义，以及后两者与H定理之间的矛盾，和这种矛盾是如何克服的。
1.H定理
H定理是建立在玻尔兹曼动理方程的基础上的。
玻尔兹曼动理方程用于刻画一个密度函数f(p,q,t)的演化。f(p,q,t)dpdq表示在t时刻下系统中动量处于(p~p+dp)、位置处于(q~q+dq)之间的粒子的比例。
现在可说明H定理所表述的内容：
状态函数 随时间单调递减，
即
等号当且仅当f满足平衡态分布（M-B分布）时取得。
因此，H定理所包含的要点是：
a）密度函数f(p,q,t)将最终趋于平衡态分布。b）一个以系统状态为自变量的函数随时间单调递减，体现了时间的单向性。
2.庞加莱回归、洛喜密脱佯谬与H定理
玻尔兹曼动理方程用于描述服从力学规律的多粒子系统。然而玻尔兹曼动理方程推导出的H定理与力学规律存在着矛盾之处：
a）庞加莱回归与H定理
对于一个孤立力学系统的任意一个状态，将在有限时间内回归到与此状态任意近的状态，此称庞加莱回归。从而就算H单调下降，它也将将回复到过去状态，从而不可能总单调，与H定理矛盾。
b）洛喜密脱(Loschmidt)佯谬
由于力学系统具有反演不变性，因此，对于任意一个多粒子系统A，在t0时刻，令系统内所有粒子速度方向反转，得到一个系统A'。则系统A'在t0+t时刻的状态与系统A在t0-t时刻的状态相同。从而，若系统A的H单调递减，则系统B的H将单调递增，与H定理矛盾。
3.关于以上矛盾的说明
这两个矛盾是建立在H定理最初版本的表述上的。而矛盾的实质是：存在这样的力学系统，在其中H不单调递减。
然而，为回应诘难，玻尔兹曼完善了H定理的表述，使H定理与存在H不单调递减的力学系统不矛盾。下面说明H定理的完善后的表述。
完善的表述应是建立在概率论、测度论的基础之上的。对于N粒子（单原子）系统，其自由度为6N（3N个动量分量:p1,p2,..;3N个坐标分量：q1,q2,...）。现考察所有的能量E=E0的N粒子系统，所有的满足条件的系统分布在6N-1维超曲面E(q1,q2,...,p1,p2,...)=E0上。以测度（可以理解为超曲面上的面积）为权重对曲面上各点（对应能量为E0的各个系统）的H同时取平均，H随时间将单调递减。
事实上，玻尔兹曼那时测度论还尚未建立。因此，玻尔兹曼采用的解决方案是将状态空间离散化(可以参考Enrenfest的讨论统计力学的著作《The Conceptual Foundations of the Statistical Approach in Mechanics》)，这样就能避开连续曲面的测度的困难，只需进行排列组合计数。但基本精神是一致的。
4.一个概率论例子
玻尔兹曼的学生埃伦费斯特提出了一个随机模型，很直观的说明了H定理：
有2N个球，分布于盒子A、B中，每次随机选一个球进行转移。尽管每一个样本路径(A->B)都可以找到一个逆的样本路径(B->A)，但可以验证，最后球的分布将趋于相等。
前者（正的样本路径与逆的样本路径一一对应）对应于两个佯谬。后者（球的分布将趋于平衡）对应于H定理。
5.结论
通过以上分析，我们可以认识到H定理与两个佯谬之间的分歧所在：
两个佯谬指出的是存在力学系统（随机过程中的样本路径）不满足某性质P。
H定理指出的是在很多个力学系统（样本路径）且它们均匀分布的前提下，以概率1满足性质P。
