如何证明无限集必与它的一个真子集对等？

如何证明无限集必与它的一个真子集对等？

这个证明的思路非常简单，就是：

将上下两行的元素各自一一对应。因为an是一个无限集，所以上下两行的an可以无限地一一对应下去。

括号中的元素表示的余集

余集中的元素上下两行继续保持一样。

由此看到，一个无限集必然与它的一个真子集对等。这种与我们直觉不一致的地方，就在于无限集的性质。

无限就是没有尽头，所以在无限集中，去掉有限个元素后，不影响原来的无限集还是无限的性质。

对比上图中的两行，下面一行中的元素就是在上面一行中去掉了一个元素a1，但这丝毫不影响两者还是无限集的性质，所以这种一一对应可以毫无疑问永远进行下去。

反过来，如果原来的集合不是无限，也就是原来集合的元素个数是有限的。

那么，在这个有限集合中去掉一个元素以后，剩下的元素就不可能与它原来集合中的元素一一对应，因为有限中少了一个是无法弥补的。