高中学导数被贝克莱悖论绕进去了怎么办？

高中学导数被贝克莱悖论绕进去了怎么办？

绕进去是因为牛顿时代没有解释清楚“极限”。现代数学已经（用“ε-δ语言”）严格地定义了极限，所以你大可不管贝克莱悖论直接照着书上来，要么就去学习一下大学里对于极限的严格定义。

极限的严格定义放在下条分割线后，这一段只是解释性的瞎扯。

lim_[x→a] f(x)，里面这个函数中x确实≠a，只能很接近a。极限被定义成这个函数在a附近的“近似值”——当然这个近似比“四舍五入”那种近似要精确得多，这个近似值是唯一的——从这个角度，x→a时，虽然x≠a，但是 数值a 是 函数x 的一个很好的“近似”。虽然f(x)≠f(a), 但是f(a)能“近似”f(x)，比如sin0.5, sin0.55, sin0.555,... 的“近似”值就是sin(5/9).

有了“近似”而非“等于”，那就可以解释无穷小的幽灵：因为x≠a，所以△f/△x这里分母不为0。而后，在去掉lim并把△x写成0的这一步中，过渡用的等号不是等量代换，而是一次映射，把一个函数映射成了他的近似值。在这个映射里，函数△x映成近似值0，常系数的近似值仍为这些常数，四则运算被保持，等等。

现行的极限定义由魏尔斯特拉斯给出，又称“ε-δ语言”：

称lim_[x→a] f(x)=A，如果

∀ε＞0，存在δ＞0使得 当0＜|x-a|＜δ时，|f(x)-A|＜ε

——这个定义的意思是说，在x→a时，f(x)与A的差距非常之小，比任何一个正实数ε都要小。如果把x趋于a的程度划分几个层次的话，那么越往后f(x)离A越近，以至于无论是多小的差距ε，当x→a的程度足够（即0＜|x-a|＜δ）时，f(x)跟A的距离都会小于ε。可以说是“要多近有多近”