谁能把虚数描述下？

谁能把虚数描述下？

已经有人从几何角度给出了解释，这里从代数方面讲一讲。历史上虚数也是由解代数方程的需求引入的。

人们对数字的直观认识产生了自然数，之后数学家们不断往里面加入新的东西，为的是追求某种“圆满”。

为了减法的圆满，引入了负数和0，形成整数。从整数出发，你可以自由的做加减法而不会超出整数的范围。就好像人在地面上，无论往哪个方向走，都离不开地球。数学家们管这个叫封闭。

为了乘除法的圆满，又引入了分数，形成了有理数。加减乘除统称算术运算，有理数对于算术运算是封闭的。后面我们把这种对算术运算封闭的数的集合叫做数域。

下一个目标是代数方程的圆满，也就是如果一个任意一元n次方程的系数都是来源于数集A，那么它的根也在A里面。显然代数封闭是算术封闭的充分条件，算术封闭是其实就是一元一次方程的封闭，现在我们要把这个次数扩大到任意整数n。

古希腊人就意识到了有理数对于高于一次的代数方程不是封闭的，比如 ，它的系数都是有理数，但是他的根，也就是著名的黄金分割比 ，不是有理数。

人们为了让代数方程能够封闭，加入了无理数，形成实数。后来发现实数还不够用，虚数就被发明出来。事实上仅仅为了代数封闭的话，加入无理数是加得太多了，实数的构成远比想象中复杂许多，而加入虚数这一步其实非常的简单，这个问题有点超纲，就不多讲了。

在二次方程中，其实实数还够用。初中我们就知道一元二次方程的求根公式，方程 的根为 ，根号里面的东西通常简称为 ，如果 小于0，我们说方程没有解，因为只能对正数开平方。

但是到了三次方程，我们就不得不面对负数开平方的问题了。

对于三次方程，幸运的是我们依然有求根公式，虽然是复杂了那么一点点。

首先我们总是可以把一个一般的三次方程化简成 的形式，这会让求根公式好看一点。

接下来通过一点点代数技巧我们可以得到它的求根公式：

下面来看一个具体的方程：

可以验证它有3个实数根： （别问怎么算出来的，方程都是我编的，想要有什么根就有什么根）

而带入求根公式得到的是：

情况似乎不妙。如果按照二次方程那样，遇到负数开平方就放弃，那么得出的结论就是此方程没有实数根，大错特错。

更诡异的是，方程有3个实数根，而我们的公式只给出1个，除非一个数开立方可以得到三个不同数。

在验证了被我们省略掉的求根公式推导完全符合代数规则之后（此步骤同样省略掉），我们不得不承认：给负数开平方是合法的，一个数有3个不同的立方根。

于是虚数 就被引入了。

有了虚数之后，根据代数法则很容易得到 ，于是1也有了3个立方根。

此时再回头看我们的求根公式得出的方程解，根据复数的运算法则进行一翻运算（再度省略，嫌麻烦可以上wolfram alpha验证）,就能得到三个实根。完美！

复数由此被引入，它对代数方程是封闭的。

这就是虚数 的意义。