对数函数定义域为R 为什么得出真数大于0？

对数函数定义域为R 为什么得出真数大于0？

对数函数对于真数的规定不是由于其定义域而给出的，而是出于对“指数函数”的形式的限制。

在仅考虑实数域上的指数函数时，底数都是正非1实数，所以考虑到对数函数真数的意义，真数的限制条件：正非1实数也就确定下来了。

那么为什么实数域上的指数函数的底数都限制“正非1”这个条件上呢？

首先，1做底数的情况是trivial的，没有研究价值。

其次，如果考虑负实数做底数，那么这个指数函数将呈现出许多复杂的特性：

最容易看出的情况就是，在每个整数点的取值摇摆不定，而这仅仅是次要的，我们事实上并不会因为这种小情况而放弃研究负底数情况。

最麻烦也最难解决的情况就是出在许多非整数的有理数点，以及全部的无理数点的取值。既然研究实数域上的函数，那么我们最理想的状况就是把实数域映射到实数域。但是，如果出现了负底数，那么就很容易且无法避免地出现在实数域上解决不了的问题，比如-1的平方根。为了解决这种问题，就必须引入复数，而这与我们从实数域映射到实数域上的初衷是相悖的，同时，复数的引入也使得这个问题不能在由x决定y的坐标系来描绘了，而需要两个复平面来共同描述。

进一步，底数的无理数次幂都是由有理数列逼近而来的，而上述问题会把无理数次幂的问题难度无限放大。

再进许多步，求导，积分，以及其他算子的作用都会因为出现复变量而使得这个函数映射变得极其复杂，甚至不能再简单地用实函数理论解决。

而限制了底数为正非1，那么这几个问题就都得到了完美的解决，并且很意外地还得到了许多工整的性质。那我们为什么不用呢？