如何评价2021年全国高中数学联赛？

如何评价2021年全国高中数学联赛？

分享一下二试的感受。

拿到卷子，第一题读完题就做出来了。枚举一下 的顺序，不妨假设 是最大的，那么显然有 ，两边同除 得到 。有界了解数自然有限，而顺序的种数也是有限的，那么最后的解也便有限了。

本人几何水平不是很高，所以先去做第三题去了。第三题卡了半个小时没思路之后我才回去看第二题，发现难度不算很高。 显然是中位线，干脆把 中点 点出来，那么 共线。显然等价于求证 ，也就是 ，主要问题集中在 上。利用弦切角容易推出来 四点共圆，从而得到 。同时从这组共圆以及 的共圆还可看出 ，从而可以方便地把 转移出来。另一组不太好看出的相似是 。这组相似可以通过算角获得。进而可以手拉手模型得出 。至此本题全部几何量都可以用三边表示出，计算并不困难，此处略去。

第三题卡了还挺久的，最后搞了个比较暴力的解法。首先 是奇数的情况一定是合数，我们只考虑 是偶数的情况。令 ，显见 是奇数，条件变为 。我们猜想存在一个 使得 。设两者的质因子分解式 ， （由于 ，显然 互不相同）。对每个 ，记 模 的阶为 ，由中国剩余定理知 一定满足 ，我们来证明 。若 ，那么对每个 ，都存在一个 使得 ，而由阶的性质及欧拉定理知 ，即 。显然 ，则 。所以我们得到 ，这显然是矛盾的。综上，我们得到了 。则 ，其中前后两部分都是正整数，且 。若 则已证毕；否则 ，我们有 （经典结论：设正整数 ， 是正整数，则 ），取 ，易证 。我们有 ，进一步得到 ，也即 。故得 。显见前后两部分皆为大于 的正整数，故证毕。

（瞟了眼标答发现考场上写到东西只够拿 分，惊恐）

第四题考场上随便构造了一个 得到 。考后和群友交流得到一个证明：设 （其中 ， ）。先讨论 是偶数的情形，令 ，则 。不妨记 是 排序后的结果，我们证明 。若否，则 。右侧显然大于等于 时的取值 ，即 ，这就矛盾了。进而我们由归纳法得出： 可以取到 的任意整数值。这样 一定能划分为差不超过 的两半，那么原先的命题便自然成立了。若 是奇数，可以往前面补一个 再套用这个证法。

关于一试……填空题第一题错了，第六题没时间算，大题第九题抄答案的时候实部抄成了 ，十一题不会……还能说什么呢QaQ